;


Напишите нам
Какие письма читателей Вам интереснее читать?
 
Отзывы читателей

Ольга написал(а):
Уважаемый, Сергей Николаевич! Большое вам спасибо! Ваши книги читаю с большим удовольствием и радостью. Люблю вас и ваши книги, чувствую, что вы стали для меня родным человеком. Ваши исследования помогают жить, радоваться и быть счастливой в любой ситуации. Я нашла ответы на многие вопросы своей жизни. Мне стало интересно жить. Хочется узнать, понять и почувствовать что-то новое. И это есть в ваших книгах. Хочется меняться и быть лучше, не останавливаться на достигнутом. Еще раз благодарю за ваш труд.

Оксана написал(а):
Уважаемый Сергей Николаевич, большое Вам спасибо за все, за Ваш Труд, Вашу бесценную информацию. Я читаю Ваши книги с 1997 года. Они путешествовали со мной из России в другие страны. Но потом как то так получилось был перерыв лет в 15 когда я вообще ничего Вашего не читала, так как жила за границей. А потом, в 2015, я случайно наткнулась на Ваш канал в ютубе и другие каналы, которые публикуют Ваши видеозаписи с семинаров и интервью. И я опять запоем углубилась во все это. Вы поменяли мой взгляд на Россию и Путина, я была такая антироссийская раньше, а теперь я вернулась в Россию. Живу бедно и, скорее, неблагополучно с общепринятых мерок, но почему-то чувствую что... не знаю, как подобрать, нужные слова. В общем, никто не понимает, зачем я вернулась. Все меня постоянно распрашивают. Я им пытаюсь обьяснить: "Ну, как же! Ведь за Россией будущее. Тут есть внутренний стержень какой-то" Хотя такого хамства, грязи, юридического и чиновьевчего беспредела нет нигде больше, чем у нас. Но тут есть что-то важное, что нельзя описать словами. Я пытаюсь меняться, но очень медленно. Если бы не Вы, вообще бы так совсем не менялась , а вы - молодец! Спасибо Вам огромное за все. Уважаю. Люблю. Учусь. Меняюсь.

Гость написал(а):
Благодарю Вас, Сергей Николаевич, за всё: за Ваш оптимизм и упорство в познании мира, которым Вы заражаете нас. Всех благ Вам и Вашим помощникам! Любви, добра, тепла и света!

Показать все отзывы

Теорема Гёделя о неполноте [видео]

Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

 

Теорема Гёделя — синтаксическая версия

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже.

Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой, или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются.

Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда.

Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

Курт ГЁДЕЛЬ - Kurt Gödel,  1906–78

Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором).

В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни.

В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился.

В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.

Источник: http://elementy.ru/trefil/21142
Поделится в соц. cетях!13.04.2012 12:19